木遥博文：为什么没人喜欢学习高等数学

liaocw

木遥博文：为什么没人喜欢学习高等数学
发信站: 北大未名站 (2011年11月25日15:27:28 星期五), 站内信件

http://blog.farmostwood.net/623.html#comments

这学期我一直在教一门课，微积分 II。对象是非数学物理专业的大学生，大多数来自于
business / liberal art / economics 等专业。难度大致相当于国内的高数 B 或 C。
所使用的教材是全美国都在广泛使用的 Stewart Calculus。

我目前所在的这所大学位于美国中部，这里毕业的学生一般都会进入白领阶层，但是很难
有机会成为美国最出色的精英。也就是说，他们基本上是美国中产阶级的典型代表。

让我开宗明义地说：为什么说科学在美国衰败？从我的课堂就能看得出来。一个典型的未
来美国中产阶级学生，在他的大学科学课程里基本上什么也学不到。等他成为社会的栋梁
之后，如何可能了解科学和尊重科学？

这当然可能是一管窥豹，因为我毕竟没有旁听过别的科学门类的大学课程。但是连微积分
这种所有理科学科都会赖以为基础的课程尚且如此，其余的情况似乎也可以想象。

为什么他们的微积分会学得这么糟糕呢？让我来举几个例子。

我接手这门课程之后的第一部分内容是积分技巧。大部分时间，学生们都在练习这样的题
目：

计算下述不定积分：

\int\tan^7\theta\sec^5\theta d\theta

然后是微分方程。在介绍完基本定义之后，学生们在考试里会遇到的是这样的题目：

试求解下列微分方程：

x^2y'=y-y'

再然后是级数。虽然并不要求学生掌握 ε-δ 语言，但是他们要学习各种各样的判断级
数是否收敛的定理。作业和考试都是这样的：

判断下列级数是否收敛：

\sum_{n=1}^\infty \frac{\cos\left(e^n\right)}{n\sqrt{n}}

我完全不能理解，一个非数学或物理专业的学生怎么可能从这样的教育中获得一丝一毫的
教益？他怎么可能不发自内心地痛恨这门课程，然后在考完试之后的一个小时之内把所有
内容忘得精光？象三角代换这类积分技巧，不要说一个普通的心理学或者经济学专业的学
生一辈子都用不到，就连我也一辈子都用不到。就算在极其罕见的情形下需要求解这类问
题，也完全可以求助于 wolframalpha.com 或者类似的工具。在我看来，在二十一世纪还
要求一个普通学生手算积分，就像是要求一个汽车驾校学员一定要从骑马学起一样。

实事求是地说，Stewart 这本教材并不坏，也尽力囊括了一些关于数学在别的领域中的应
用的内容和大量颇有趣味的阅读材料。但是问题在于，它仍然是一本基于数学家思维方式
写出来的教材，亦即在每一个课题上从最基本的定义和定理开始堆砌，直到超出教材所可
能涵盖的水平为止。例如，为什么学生需要学习变量分离的常微分方程的解法？因为这是
最容易解的（也是这个水平的学生所唯一可能学会解法的）常微分方程。也就是说，学生
学习这类方程（并且要做大量练习）不是因为它对学生来说重要，而是因为它是在数学大
厦里一个学生所能爬到的最高位置，如此而已。

可是一个学生为什么要去爬这座大厦呢？或者换句话说，数学家凭什么要求所有普通人都
按照数学家的方式来学数学呢？它除了把学生摔得鼻青脸肿之外，没有任何用处。每个学
生都不得不学会七八种判别一个级数是否收敛的技巧，但是他甚至没有机会得到一个简单
问题的答案：「我为什么要学习级数？」——对数学家来说这个问题没有意义，数学家反
正总是需要级数的。

但是它对别人有意义。每次当我走进课堂，开始讨论第一类反常积分和第二类反常积分或
者绝对收敛和相对收敛的区别，我都忍不住设想台下学生们的心情。他们会不会觉得我像
是个傻瓜？反正我觉得自己很像。

我常常碰到有人认真地问：「数学到底有什么用处？」这问题其实一点都不难回答，我可
以随口举出无数个例子来说明为什么社会的每个角落都须臾不可缺少最现代的数学工具，
但是我明白为什么别人会问这个问题。因为对于他们来说，数学就是他们在大学里学过的
这些习题。而这些习题对 99% 的大学生来说确实一点用都没有，甚至连「锻炼逻辑思维
能力」这种最虚幻的用处也谈不上。

如果是我来编写大学数学教材，我会争取让每一个在大学里读过数学课的人都能回答这样
的问题：为什么人们能精确预测几十年后的日食，却没法精确预测明天的天气；为什么人
们可以通过 https 安全地浏览网页而不会被监听；为什么全球变暖的速度超过一个界限
就变得不可逆了；为什么把文本文件压缩成 zip 体积会减少很多，而 mp3 文件压缩成
zip 大小却几乎不变；民生统计指标到底应该采用平均数还是中位数；当人们说两种乐器
声音的音高相同而音色不同的时候到底是什么意思⋯⋯这不是什么「趣味数学
」，这就是数学。基础、重要、深刻、美的数学。

在我的设想里，这才是大学基础数学教育所应该达成的任务。不是培养一个非数学专业的
现代人在数学领域的专业素质（这是无论如何也不可能成功的），而是让一个人能够在非
专业的前提下最大程度地掌握真正有用的现代数学知识，了解数学家们的工作怎样在各个
层面上和社会产生互动，以及社会在这个领域的投资得到了怎样的回报。别的科学门类的
基础教育也应当是这样。

更重要的是，任何一个接受过大学科学教育的人，无论他的职业是什么，他都应当能够明
确理解下面这些事：为什么历史上一次又一次有过处于少数地位的业余科学家在不被重视
的情况下做出重大贡献的事例，今天的科学界仍然在整体上排斥业余研究者的参与，并且
反对社会资源被用来鼓励业余研究；既然科学结论有可能并且也在事实上曾经反复被推翻
，连牛顿力学都会被爱因斯坦相对论所取代而相对论也可以继续被修正，当代科学家做出
的科学断言到底在什么意义上值得相信（或者是不是根本就不值得相信）；科学问题是不
是和政治问题一样，并不存在所谓正确的答案，而每种立场其实都有其存在的意义和价值
；当一个科学上的专业问题同时又具有政治上的巨大影响力的时候（比如全球变暖、干细
胞研究或者转基因作物推广），不具有专业背景的公众到底应该具有怎样的发言权。让每
个现代人在大学教育中听到科学家对这些问题的回答，应当是大学科学教育不可回避的任
务。

毫无疑问，现状并不是这样。

我并没有在中国大学里教数学基础课的经历，但是就我的了解而言，情况和美国差不多。
我不止一次听到别人向我描述高数课给他们带来的痛苦，我能想象也能理解这种痛苦。这
不是中国或者美国的问题，而是普遍存在于时代的问题。

在科学的威力史无前例地席卷全社会的今天，科学和社会的关系也史无前例地疏远。这实
在是太危险了。



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liaocw

因为用了密码加密。用公钥密码交换密钥，用 hash 函数和公钥密码数字签名的证书
确认身份，用对称密码加密中间的数据。
: 为什么全球变暖的速度超过一个界限
: 就变得不可逆了；
好吧我承认这类东西我不懂，这不是一个单纯的数学问题。参看
http://en.wikipedia.org/wiki/Climate_change_feedback
: 为什么把文本文件压缩成 zip 体积会减少很多，而 mp3 文件压缩成
: zip 大小却几乎不变；
文本文件的冗余度比较大，统计表明英文文件是冗余度是 3/4，可以通过熵压缩编码使
它变小。而 mp3 是已经经过熵压缩编码的结果，冗余度已经很小，而且事实上 mp3 用
的算法比 zip 通用算法要更适合语音。
: 这三个问题的答案么？

liaocw

转一个回复过来
（前文略）
以及在我看来有些奇葩的一段：“如果是我来编写大学数学教材，我会争取让每一个在大
学里读过数学课的人都能回答这样的问题：为什么人们能精确预测几十年后的日食，却没
法精确预测明天的天气；为什么人们可以通过 https 安全地浏览网页而不会被监听；为
什么全球变暖的速度超过一个界限就变得不可逆了；为什么把文本文件压缩成 zip 体积
会减少很多，而 mp3 文件压缩成 zip 大小却几乎不变；民生统计指标到底应该采用平均
数还是中位数；当人们说两种乐器声音的音高相同而音色不同的时候到底是什么意思
943;”

看看想回答这些问题我们大概需要什么数学知识，包括但不限于力学、动力系统、混沌理
论、代数、数论、Fourier变换和统计。而且很多东西并不是能简单介绍的。比如说第一
个，日食和天气。日食涉及日地月三体系统，单纯用牛顿方程的话，误差是很难控制的，
而精确预测要建立在大量高深的数学物理知识之上。别的不说，至少你要知道什么是Ham
ilton系统，什么是正则变换，都不是一两句话就能让一个不会算积分不会解微分方程的
学生理解的。而混沌理论就更不用说了。有时候，说明一个东西可以是比说明它不可以要
简单的。再比如说zip压缩，原理确实不复杂，连我在高中的时候都能写一个简单的zip压
缩程序。但你要介绍mp3文件不能再压缩，就要介绍什么是Fourier变换，介绍什么是FFT
，介绍什么是Huffman，我真不知道如果学生连级数判敛都不熟练的话，怎么可能接触Fo
urier变换这样的东西。难道就只满足于告诉学生这个东西只是把频率分解出来么？如果
真是这样，类似的科普文我能炮制出不少了。甚至都不用专门去google。可惜都只能是玩
笑之作吧。

（后略）

liaocw

也许学习级数是不是收敛，怎么手动算积分等真的对某些人文社科甚至是工科非数学理科major的学生没多大用处，
（stewart那本书不会让学生证明东西的，美国calculus基本没有证明题）
因为他们有CAS，有各种各样的“高科技”可以协助他们，
但问题是……有“高科技”你也得懂得怎么用高科技啊，
我在help room不止一次碰到过学生问我：
为什么我用maple解函数有多少个根会出error？
为什么我的graphic calculus里面出不来图形？
为什么我看不到我graph的那个picture？
这种时候，我都不知道怎么跟他们解释：
你得选择合适的定义域，和值域，你得选择合适的函数包，
你得。。。。。【美国学生一般缺乏耐心听解释，他们都希望你把解题步骤告诉他们，然后他们照葫芦画瓢，有耐心的早就math major了

我甚至不止一次想问，
究竟是让学生在掌握一定的数学知识和编程知识后再接触这些“高科技”，
以便于他们自己知道自己在干什么，
还是在他们还没有完全了解自己需要干什么的情况下，
就让CAS这类东西来替代他们的思考

甚至有学生跟我说，
她完全不能理解：y'(t)=y^{-2}(t)这种方程，
她会用分离变量法解y'(t)=y(t)，但她不会做y'(t)=y^{-2}(t)，
因为课上老师没讲过-2的情况，
在她看来，RHS的y^{-2}(t)就应该是个常数，

我觉得如果作者认为，高数真的一无是处，
高数应该更多的着重在教会他们如何建模，
而把需要思考的地方任由机器和“高科技”来代替，
是不是把现在的学生想得太理想化了？