容斥问题不靠公式也能解

我就是高富帅

对于许多考生来说，公务员考试行测中的容斥问题一直是难点，特别是一些复杂的三者容斥问题，单单靠记忆一些公式是难以解决的。中公教育专家建议考生，不记这些复杂的容斥原理公式也是可以的，关键要学会灵活运用容斥原理，尤其是利用文氏图结合容斥原理，一些问题可以轻松解决。

一.知识点总结

容斥原理: 容斥原理是指计数时先不考虑重叠的情况，把包含于某内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把重复计算的数目排斥出去。

容斥问题主要分为：两者容斥问题、三者容斥问题。

如何解决容斥问题：利用文氏图(划圈法)。

1.两者容斥问题

解决两者容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B两类，那么，先把A、B两个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。

简记：元素的总个数=大圈-中圈(A、B为大圈，x为中圈)

方法核心：让每个重叠区域变为一层。

(x为重叠区域)

例：班级一共有240人，每个人必须至少有一门是好的，已知行测好的是160人，申论好的是120人，问既行测好又申论好的有多少人?

(x为既行测好又申论好的人)

中公解析：首先我们只需把行测好、申论好的分别看成集合，然后用文氏图表示出来，其中x为重叠区域，我们需将其变为单层。160+120-x=240，解得x=40。

2.三者容斥问题

解决三者解决容斥问题的方法：如果被计数的事物有A、B、C三类，那么，先把A、B、C三个集合的元素个数相加，然后减掉重复计算的部分。

(1、2、3、x均为重叠区域)

简记：元素的总个数=大圈-中圈+数小圈(大圈指三类元素的个数和，中圈指题目中所给重叠区域(1、2、3、1+x、2+x、3+x、1+2+3+x)，小圈为三层重叠区域x，利用此公式，我们只需数小圈即可。

方法核心：让每个重叠区域变为一层。

例：有140人，每个人都至少喜欢一种花，已知喜欢玫瑰花的有80人，喜欢牡丹花的有70人，喜欢百合花的有60人，则分别在以下三种条件下，三种花都喜欢的有多少人?

(1)喜欢玫瑰和牡丹的有30人，喜欢玫瑰和百合的有40人，喜欢牡丹和百合的有50人;

(2)只喜欢两种花的有40人;

(3)至少喜欢两种花的有50人。

中公解析：首先分析三个条件中重叠区域是哪部分，利用元素的总个数=大圈-中圈+数小圈，则大圈=80+70+60，中圈=30+40+50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了三次，还需加一次x，故 ，解得x=50。(2)大圈=80+70+60，中圈=40，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x一次也没有被减，因此需减2x，故 ，解得x=15。(3)大圈=80+70+60，中圈=50，其中大圈中x被加了三次，减中圈时x被减了一次，因此需再减一次x，故 ，解得x=20。

总结：解决容斥问题，最重要的就是要分清题干中所给的重叠区域，然后从三层区域入手(小圈)将重叠区域变为一层。

3.容斥中的极值问题

二.经典例题

1.接受采访的100个大学生中，88人有手机，76人有电脑，其中有手机没电脑的共15人，则这100个学生中有电脑但没手机的共有多少人?

A.25 B.15 C.5 D.3

【答案】D。

中公解析：画出文氏图。88人有手机，15人有手机没电脑，则88-15=73人既有手机又有电脑，已知76人有电脑，所以有电脑没手机的有76-73=3人。

2.某公司招聘员工，按规定每人最多可报考两个职位。结果共42人报名，甲、乙、丙三个职位报名人数分别是22人、16人、25人，其中同时报甲、乙职位的人数为8人，同时报甲、丙职位的人数为6人，那么同时报乙、丙职位的人数为：

A.5人 B.6人 C.7人 D.8人

【答案】C。